అది 1945వ సంవత్సరం. ఇండియన్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్స్టిట్యూట్లోని ఒక తరగతి గదిలో విద్యార్థి సి.ఆర్. రావును, "చాలా తక్కువ డేటా నుండి మనం నిజంగా ఎంత సమాచారాన్ని సేకరించగలం?" అని అడిగారు.
రావు ఇంటికి వెళ్లి, రాత్రంతా శ్రమించి, డేటా నుండి ఏదైనా పరామితిని మనం ఎంత కచ్చితత్వంతో అంచనా వేయగలమో అనే దానిపై సైద్ధాంతిక పరిమితిని నిర్దేశించే ఒక ప్రాథమిక అసమానతను రాబట్టారు. దీనిని ఇప్పుడు క్రామెర్-రావు అసమానత (లేదా క్రామెర్-రావు దిగువ పరిమితి) అని పిలుస్తారు.
ఇది ప్రపంచ వ్యాప్తంగా ఉన్న ఇంజనీర్లు, భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు, డేటా శాస్త్రవేత్తలకు - జీపీఎస్ GPS వ్యవస్థలను నిర్మించేవారి నుండి హిగ్స్ బోసాన్ (గాడ్ పార్టికల్) కోసం శోధించేవారి వరకు... నిష్పాక్షిక అంచనాదారులతో వారు సాధించగల సంపూర్ణ గరిష్ట కచ్చితత్వాన్ని తెలియజేస్తుంది.
ఇది సమాచార సిద్ధాంతం గణాంకాలలో అత్యంత ముఖ్యమైన వేగ పరిమితులలో ఒకటిగా మిగిలిపోయింది.
గొప్ప పరిశోధకులు రావుగారి గురించి కొన్ని సంగతులు చూద్దాం....
80 ఏళ్ల పరిశోధనా జీవితంలో సాంఖ్యక సిద్ధాంత రంగంలో మార్గదర్శకుడిగా నిలిచిన దిగ్గజం సి.ఆర్. రావు. తన 103వ పుట్టినరోజుకు రెండు వారాల ముందు, 2023 ఆగస్టు 22న మరణించారు. సి ఆర్. రావ్ పూర్తి పేరు కల్యాంపూడి రాధాకృష్ణారావు.
1920 సెప్టెంబర్ 10న కర్ణాటకలో జన్మించారు. ఉన్నత పాఠశాల రోజుల నుండి, రావు తన జూనియర్లు, సహవిద్యార్థుల మధ్య గణితంలో చాలా మంచి విద్యార్థిగా పేరు పొందారు. రావుకు కేవలం 25 సంవత్సరాల వయస్సు ఉన్నప్పుడు, 1945లో భారతదేశం నుండి ప్రచురించిన ఆయన పన్నెండవ పరిశోధన వ్యాసం సాంఖ్యక శాస్త్ర రంగంలో కొత్త పుంతలు తొక్కింది. (రావు, సి.ఆర్., బుల్ కలకత్తా మాథ్ సొసైటీ , 1945). ఆ వ్యాసం రావు - బ్లాక్వెల్ సిద్ధాంతం, క్రామెర్-రావు అసమానత. రావు దూరాలు వంటి అనేక కొత్త సిద్ధాంతాలను సృష్టించి, గణాంక శాస్త్రాన్ని విజ్ఞానశాస్త్రంలో మరింత శక్తివంతమైనదిగా చేసింది. ఈ వ్యాసానికి ముందు, రావు సంఖ్యా సిద్ధాంత రంగంలో స్వతంత్రంగా, ఎస్. చౌలా, ఆర్.సి. బోస్లతో కలిసి వ్యాసాలను ప్రచురించారు. వాటిలో కొన్ని....రావు. సి.ఆర్., 1942; రావు, సి.ఆర్., 1944; బోస్, ఆర్.సి., చౌలా, ఎస్., రావు, సి.ఆర్. 1945 ఎ, 1945 బి.
ఆయన ఐ.ఎం.ఎస్., ఇంటర్నేషనల్ బయోమెట్రిక్స్ సొసైటీ, నెదర్లాండ్స్లోని ఐ.ఎస్.ఐ.కి అధ్యక్షుడిగా పని చేశారు. గణాంకాలు, వాటి అనువర్తనాలపై ఆయనకున్న అభిరుచి చివరి వరకు కొనసాగింది. ఆయన విద్యా నేపథ్యం, ముఖ్యమైన గౌరవాలు, పురస్కారాల జాబితాను ఐ.ఎం.ఎస్. బులెటిన్లోని "సి.ఆర్. రావు 100వ జయంతి" అనే ప్రత్యేక నివాళి సందర్భంగా ప్రకటించారు.
2022లో రావును గౌరవ జీవిత సభ్యునిగా సత్కరిస్తూ ఐఈఈఈ (IEEE), 2023 అంతర్జాతీయ గణాంక శాస్త్ర బహుమతి ప్రశంసాపత్రం, రావు మార్గదర్శకమైన 1945 వ్యాసం గణాంక శాస్త్ర రంగాన్ని ఎలా తీర్చిదిద్దిందో ప్రస్తావించాయి.
భారత గణాంక సంస్థ డైరెక్టర్ రాస్తూ, సి.ఆర్. రావు "గణాంక శాస్త్ర విభాగాన్ని సుసంపన్నం చేసిన, భారత గణాంక సంస్థను తీర్చిదిద్దడంలో సహాయపడిన ఒక ప్రభావవంతమైన వ్యక్తిగా చిరస్మరణీయులుగా నిలిచిపోతారు. అందుకు, మేము యావత్ [సి.ఆర్.] రావు కుటుంబానికి కృతజ్ఞతతో ఉంటాం" అని పేర్కొన్నారు.
1960 నాటికి, అంటే 40 ఏళ్ల వయసులో, సి.ఆర్. రావు గారు అప్పటికే గణాంక శాస్త్ర ప్రపంచంలో ఒక సుప్రసిద్ధ వ్యక్తిగా స్థిరపడ్డారు. క్రామెర్ - రావు సిద్ధాంతం, రావు - బ్లాక్వెల్ విధానం అనేవి చాలా ప్రామాణిక గణిత గణాంక శాస్త్ర పాఠ్యపుస్తకాలు, కోర్సులలో అంతర్భాగంగా మారిపోయాయి.
తదనంతరం 1960వ దశకంలో, భారత ప్రభుత్వ పద్మశ్రీ, పద్మభూషణ్, సైన్స్ అండ్ టెక్నాలజీకి ఎస్.ఎస్. భట్నాగర్ అవార్డు, రాయల్ సొసైటీ ఫెలోషిప్, కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయం నుండి డి.ఎస్.సి. వంటి అనేక అత్యంత ప్రతిష్టాత్మక అవార్డులు, గుర్తింపులు ఆయనకు లభించాయి. 1960-1980 మధ్య కాలం రావు గారి స్వర్ణయుగం. ఈ సమయంలోనే, పరిశోధన, శిక్షణ విభాగాధిపతిగా ఆయన నాయకత్వంలో, ఇండియన్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్స్టిట్యూట్ జాతీయ ప్రాముఖ్యత కలిగిన సంస్థగా ఎదిగి, డిగ్రీలను ప్రదానం చేయడం ప్రారంభించింది. ఆ కాలంలోని రావు గారి పిహెచ్డి విద్యార్థులలో చాలా మంది తదనంతరం ప్రముఖ గణాంకవేత్తలుగా, సంభావ్యతా శాస్త్రవేత్తలుగా, గణిత శాస్త్రవేత్తలుగా స్థిరపడ్డారు.
బహుళ చరరాశి విశ్లేషణలు, సరళ నమూనాలు, విచక్షణ విశ్లేషణ, విస్తరణ భాగ అంచనా, ఎంపిక, వడపోత సమస్యలు, ప్రయోగాత్మక రూపకల్పనలు, సాధారణీకరించిన విలోమాలపై ప్రత్యేక ప్రాధాన్యతతో మాత్రిక సిద్ధాంతం, అసమరూప సిద్ధాంతం, సంభావ్యతా పంపిణీల లక్షణీకరణ వంటి వాటికి సంబంధించిన సిద్ధాంతాలను రూపొందించడంలో పద్ధతులను పరిచయం చేయడంలో రావు కీలక పాత్ర పోషించిన యుగమది.
ఆ కాలంలోని ఏ గణిత గణాంకవేత్త దృష్టి నుండి తప్పించుకోలేని విషయం ఏమిటంటే, ఆయన ప్రచురించిన ' లీనియర్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫరెన్స్ అండ్ ఇట్స్ అప్లికేషన్స్' అనే పుస్తకం. దాని గురించి అప్పుడు గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థిగా ఉన్న బ్రాడ్లీ ఎఫ్రాన్ ఇలా అంటారు, "1965లో ఆ పుస్తకం వెలువడినప్పుడు, అది నాకు నిజంగా కనువిప్పు కలిగించింది. నిజానికి, అప్పటి వరకు తెలిసిన సరికొత్త ఫలితాలను ఒక పటిష్టమైన పునాదిపై పొందుపరిచి, గణిత గణాంకాల మొత్తం రంగానికి సంబంధించిన మొట్టమొదటి ఏకీకృత వివరణ బహుశా ఇదే కావచ్చు...." అని అన్నారు. ఈ ప్రధాన పుస్తకమే, 70వ, 80వ దశకాలలో ప్రపంచవ్యాప్తంగా గణాంకాలను ఎలా బోధించాలో ప్రాథమికంగా నిర్వచించింది. ఆయన 14కు పైగా పాఠ్యపుస్తకాలను మరియు ఎల్సెవియర్ హ్యాండ్బుక్ ఆఫ్ స్టాటిస్టిక్స్ సిరీస్లో సుమారు 40 సంపాదకీయం చేసిన పుస్తకాలను ప్రచురించారు. ఆయన పాఠ్యపుస్తకాలలో చాలా వరకు ప్రపంచంలోని పలు భాషల్లోకి అనువదించారు.
పి.జె. హ్యూబర్ ప్రవేశపెట్టిన M- అంచనా, సంభావ్యత పద్ధతులు, దృఢమైన గణాంకాలకు ఒక ముఖ్యమైన విస్తరణ. సి.ఆర్. రావు దీనిపై చాలా ఆసక్తి కనబరిచి, తన మార్గదర్శకత్వంలోని విద్యార్థులతో కలిసి ఈ రంగంలో గణనీయమైన కృషి చేశారు. స్టాటిస్టికా సినైకాలో ప్రచురించిన ఒక పత్రంలో , వ్యత్యాస ప్రమేయం కుంభాకారంగా ఉన్నప్పుడు, వారు చాలా సాధారణ పరిస్థితులలో CLT (కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం)ను స్థాపించారు. తరువాత, వారు తమ ఫలితాలను వ్యత్యాస ప్రమేయం రెండు కుంభాకార ప్రమేయాల మధ్య వ్యత్యాసంగా ఉన్న సందర్భానికి విస్తరించారు. ఇది సరళ నమూనాలలో M - అంచనాకు సంబంధించిన ప్రస్తుతం తెలిసిన దాదాపు అన్ని ఫలితాలను పొందుపరిచింది.
బహుళ చరరాశి విశ్లేషణలో, అనేక గణాంకాలను నమూనా సగటుల ప్రమేయంగా వ్రాయవచ్చు. బహుళ చరరాశి పరీక్షల యొక్క వివిధ దోష సంభావ్యతలను లెక్కించడానికి పరీక్షా గణాంకాల యొక్క ఎడ్జ్వర్త్ విస్తరణలను ఉపయోగించవచ్చు, అందువల్ల ఇది ఇక్కడ ముఖ్యమైనది. దీనిపై ఒక ముఖ్యమైన ఫలితాన్ని భట్టాచార్య, ఘోష్ (1978) సాధించారు. రావు తన సహ రచయితతో కలిసి పని చేసి, "పాక్షిక క్రామెర్ షరతు" (సి.ఆర్. రావు రూపొందించిన పరిభాష) అని పిలిచే దాని కింద ఎడ్జ్వర్త్ విస్తరణను స్థాపించారు. అంటే, పరివర్తన చరరాశి అనంతానికి చేరుకున్నప్పుడు, మిగిలిన అన్ని అనుఘటకాలు ఇవ్వబడిన ఒక అనుఘటకం షరతులతో కూడిన ఫోరియర్ పరివర్తన సంపూర్ణ విలువ, ఎగువ పరిమితి ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
CT స్కానర్ ఒక ముఖ్యమైన వైద్య నిర్ధారణ పరికరం అని అందరికీ తెలిసిందే. అన్ని దిశలలోని ప్రొజెక్షన్ల ఆధారంగా, మానవ శరీరం అంతర్గత నిర్మాణాలను ఖచ్చితంగా చిత్రీకరించవచ్చు. అయితే, ఇది గుండె ఎడమ జఠరిక వంటి కదిలే భాగాలతో పని చేయదు. ఇది ఒకేసారి రెండు లంబ చిత్రాలను మాత్రమే తీయగలదు కాబట్టి, పునర్నిర్మాణం ఈ రెండు చిత్రాలపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, కార్డియాలజిస్ట్ పి.ఎస్. రెడ్డి (పిట్స్బర్గ్ మెడికల్ స్కూల్), సి.ఆర్. రావు, పి. కృష్ణయ్య, సెంటర్ ఫర్ మల్టీవేరియేట్ అనాలిసిస్లోని ఇతరులతో కలిసి సీమెన్స్ నుండి ఒక భారీ గ్రాంటు కోసం దరఖాస్తు చేసుకున్నారు.
సి.ఆర్. రావు గారి ' స్టాటిస్టిక్స్ అండ్ ట్రూత్: పుట్టింగ్ ఛాన్స్ టు వర్క్' (2వ ఎడిషన్, 1997) అనే పుస్తకం ఉద్దేశ్యం , విస్తృత పాఠకుల కోసం వాస్తవ ఉదాహరణలతో గణాంకాల సారాంశాన్ని వివరించడం. ఆయన శాస్త్రీయ సమాజాన్ని ఆకర్షించిన ఈ క్రింది తార్కిక సమీకరణాన్ని పరిచయం చేశారు :
అనిశ్చిత జ్ఞానం + దానిలోని అనిశ్చితి స్థాయి గురించిన జ్ఞానం
= ఉపయోగపడే జ్ఞానం.
ఇది ఒక కొత్త ఆలోచనా విధానం. ఈ తార్కిక సమీకరణం గణాంకాలను అర్థం చేసుకోవడానికి, వివరించడానికి రెండింటికీ అసాధారణంగా ఉపయోగపడుతుంది.
ఇంకా, ఆ పుస్తకంలో, సి.ఆర్. రావు డేటా విశ్లేషణ ప్రధాన సూత్రాన్ని ఒక ప్రాథమిక సమీకరణ రూపంలో వ్యక్తీకరించారు. డేటా విశ్లేషణ అంటే నిర్దిష్ట ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వడం, కొత్త పరిశోధనా మార్గాల కోసం సమాచారాన్ని అందించడం.
సి.ఆర్. రావు ప్రతిపాదించిన రావు దూరాలు, సమాచార జ్యామితి సూత్రాలు ఇప్పుడు సంక్లిష్ట సమతల మాన్ఫోల్డ్లకు విస్తరించారు.
సి.ఆర్. రావు ఈ లోకాన్ని విడిచి వెళ్ళి ఉండవచ్చు కానీ ఆయన సిద్ధాంతాలు
ఎప్పటికీ మనతోనే ఉంటాయి.
ప్రపంచంలోని అగ్రశ్రేణి గణిత, గణాంక శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరిగా ప్రసిద్ధి చెందినప్పటికీ, సి.ఆర్. రావు గారు సంఖ్యల నిజమైన విలువ వాటి అంచనా వేసే సామర్థ్యంలో కాకుండా, స్ఫూర్తినిచ్చి, జ్ఞానాన్ని ప్రసాదించే వాటి శక్తిలో ఉందని నమ్మారు. అంకెల కచ్చితత్వం, సంభావ్యతలోని సొగసు ద్వారా, సత్యాన్ని దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో అన్వేషించాలని, అనవసరమైన వాటిని తొలగించి, ప్రపంచంపై మన అవగాహనకు మార్గనిర్దేశం చేసే సంకేతాన్ని కనుగొనాలని సి.ఆర్. రావు మనకు బోధించారు. మేధావి అయిన రావు కేవలం సమీకరణాలకే పరిమితం కాలేదు. సంక్లిష్టమైన అల్గారిథమ్లపై కేంద్రీకరించిన ఆయన తీవ్రమైన దృష్టి వెనుక, మానవత్వం పట్ల అభిరుచితో స్పందించే హృదయం ఉండేది. ఇతరులలోని ఉత్తమమైనదాన్ని ఎలా వెలికితీయాలో సి.ఆర్.కు తెలుసు. ఆయన దృష్టిలో, ప్రతి వ్యక్తి ఒక ప్రత్యేకమైన డేటా పాయింట్ లాంటివాడు, వెలికితీయడానికి వేచి ఉన్న సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంటాడు. అచంచలమైన సహనంతో, విశాల హృదయంతో సి.ఆర్. రావు లెక్కలేనంత మంది వ్యక్తులకు మార్గదర్శకత్వం వహించి, మార్గనిర్దేశం చేసి, స్ఫూర్తినిచ్చారు. వారి సామర్థ్యం గుర్తించబడటమే కాకుండా, వాస్తవరూపం దాల్చేలా చూశారు. తరచుగా పరధ్యానపు తుఫానులలో చిక్కుకున్న ఈ ప్రపంచంలో, సి.ఆర్. సౌందర్యాన్ని చూడగలిగారు, దానిని పంచుకోగలిగారు. టెన్నిస్ వాలీలోని సుందరమైన వంపు అయినా, ఒక నర్తకి యొక్క సూక్ష్మమైన హావభావం అయినా, ఒక చిన్నారి కిలకిల నవ్వు అయినా, లేదా ఒక పువ్వు సున్నితమైన వికాసం అయినా, సి.ఆర్. రావు మన విశ్వంలోని సౌందర్య అద్భుతాలను కీర్తించారు. ఈ మహనీయుని పురస్కారాలు, డిగ్రీలు, వ్యాసాలు, పాఠ్యపుస్తకాలు, ఉపన్యాసాల రూపంలో వదిలివెళ్లిన వారసత్వం మాత్రమే కాకుండా, అంతకంటే ముఖ్యంగా, ఆయన పంచుకున్న జీవిత పాఠాలు కూడా మనకు గుర్తుకు వస్తుంటాయి. సత్యాన్ని అన్వేషించడంలో, సౌందర్యాన్ని పంచుకోవడంలో, ఇతరులను ఉన్నతీకరించడంలోనే మనం అస్తిత్వం నిజమైన సారాన్ని కనుగొంటామనే నమ్మకానికి రావు జీవితం ఒక నిదర్శనంగా నిలుస్తుంది. సంఖ్యలు తమ గొప్ప ఛాంపియన్ను కోల్పోయాయి, కానీ ప్రపంచం ఆయన అపారమైన జ్ఞానం నుండి ఎంతో పొందింది.
addComments
కామెంట్ను పోస్ట్ చేయండి